如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=數(shù)學公式．
（Ⅰ）求面ASD與面BSC所成二面角的大小；
（Ⅱ）設棱SA的中點為M，求異面直線DM與SB所成角的大小；
（Ⅲ）求點D到平面SBC的距離．

（本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）∵SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，∴CD⊥平面SAD，AD⊥平面SDC，
又在Rt△SDB中，． …（1分）
以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標系（如圖），
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，1）． …（2分）
設平面SBC的法向量為，則，，
∵，，
∴，∴可取． …（4分）
∵CD⊥平面SAD，∴平面SAD的法向量． …（5分）
∴，
∴面ASD與面BSC所成二面角的大小為45°． …（6分）
（Ⅱ）∵，∴，，
又∵，∴DM⊥SB，
∴異面直線DM與SB所成角的大小為90°． …（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）平面SBC的法向量為，∵，
∴在上的射影為，
∴點D到平面SBC的距離為． …（12分）
（特別說明：用傳統(tǒng)解法每問應同步給分）
分析：（Ⅰ）以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面SBC的法向量，平面SAD的法向量，然后利用空間向量數(shù)量積公式求面ASD與面BSC所成二面角的大小；
（Ⅱ）設棱SA的中點為M，直接求出異面直線DM與SB對應的向量，利用空間向量數(shù)量積求解異面直線DM與SB所成角的大��；
（Ⅲ）通過平面的法向量，利用在上的射影公式，直接求點D到平面SBC的距離．
點評：本題考查空間向量的數(shù)量積的應用，二面角的求法，異面直線所成角的求法，點到平面的距離公式的應用，考查空間想象能力與計算能力．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）證明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為3的正方形，SD丄底面ABCD，SB=3
3
，點E、G分別在AB，SG 上，且AE=
1
3
AB  CG=
1
3
SC．
（1）證明平面BG∥平面SDE；
（2）求面SAD與面SBC所成二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•醴陵市模擬）如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點，AD=2，AB=1．SP與平面ABCD所成角為
π4
． 
（1）求證：平面SPD⊥平面SAP；
（2）求三棱錐S-APD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐S-ABCD底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一點，且SE=2EC，SA=6，AB=2．
（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；
（2）求三棱錐E-BCD的體積V．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2006•西城區(qū)二模）如圖，四棱錐S-ABCD中，平面SAC與底面ABCD垂直，側棱SA、SB、SC與底面ABCD所成的角均為45°，AD∥BC，且AB=BC=2AD．
（1）求證：四邊形ABCD是直角梯形；
（2）求異面直線SB與CD所成角的大��；
（3）求直線AC與平面SAB所成角的大小．

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