Question

已知橢圓

x2

25

+

y2

9

=1，過橢圓右焦點F的直線l交橢圓于A，B兩點，交y軸于P點．設

PA

=λ₁

AF

，

PB

=λ₂

BF

，則λ₁+λ₂等于

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合向量條件，即可得到結論．

解答： 解：由題意a=5，b=3，c=4，所以F點坐標為（4，0）
設直線l方程為：y=k（x-4），A點坐標為（x₁，y₁），B點坐標為（x₂，y₂），得P點坐標（0，-4k），
∵

PA

=λ₁

AF

，
∴（x₁，y₁+4k）=λ₁（4-x₁，-y₁），
∵

PB

=λ₂

BF

，
∴（x₂，y₂+4k）=λ₂（4-x₂，-y₂）．
λ1=

x1

4-x1

，λ2=

x2

4-x2

，
直線l方程，代入橢圓

x2

25

+

y2

9

=1消去y
可得（9+25k²）x²-200k²x+400k²-225=0．
x1+x2=

200k2

9+25k2

，x1•x2=

400k2-225

9+25k2

，
∴λ₁+λ₂=

x1

4-x1

+

x2

4-x2

=

4(x1+x2)-2x1•x2

16-4(x1+x2)+x1•x2

=

4• 200k2 9+25k2 -2• 400k2-225 9+25k2

16-4• 200k2 9+25k2 + 400k2-225 9+25k2

=-

50

9

故答案為-

50

9

．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．