Question

12．已知對(duì)任意平面向量$\overrightarrow{AB}$=（x，y），把$\overrightarrow{AB}$繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角得到向量$\overrightarrow{AP}$=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角θ得到點(diǎn)P，設(shè)平面內(nèi)曲線C上的每一點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)$\frac{π}{4}$后得到點(diǎn)的軌跡是曲線x²-y²=2，則原來(lái)曲線C的方程是（　　）

• A． xy=-1
• B． xy=1
• C． y²-x²=2
• D． y²-x²=1

Answer 1

分析 設(shè)平面內(nèi)曲線C上的點(diǎn)P（x，y），根據(jù)把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P的定義，可求出其繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)$\frac{π}{4}$后得到點(diǎn)P′（$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-y），$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+y）），另由點(diǎn)P′在曲線x²-y²=2上，代入該方程即可求得原來(lái)曲線C的方程．

解答 解：設(shè)平面內(nèi)曲線C上的點(diǎn)P（x，y），則其繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)$\frac{π}{4}$后得到點(diǎn)P′（$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-y），$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+y）），
∵點(diǎn)P′在曲線x²-y²=2上，
∴[$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-y）]²-[$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+y）]²=2，
整理得xy=-1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 此題是基礎(chǔ)題．考查向量在幾何中的應(yīng)用以及圓錐曲線的軌跡問(wèn)題，同時(shí)考查學(xué)生的閱讀能力和分析解決問(wèn)題的能力以及計(jì)算能力．