Question

【題目】(1)求與橢圓有公共焦點，并且離心率為的雙曲線方程．

(2)已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點F交橢圓于A、B兩點，求弦AB的長．

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根據題意，求出橢圓的焦點坐標，分析可得要求雙曲線的焦點在x軸上，且c=，設其方程為﹣=1，由離心率公式求出a的值，由雙曲線的幾何性質計算可得b的值，將a、b的值代入雙曲線方程即可得答案；（2）設出A、B的坐標，由橢圓方程求出橢圓右焦點坐標，得到A、B所在直線方程，與橢圓方程聯立，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系可得A、B橫坐標的和與積，代入弦長公式求弦AB的長．

(1)由橢圓方程為，知長半軸長，短半軸長，

焦距的一半，

∴焦點是，，因此雙曲線的焦點也是，，

設雙曲線方程為，由題設條件及雙曲線的性質，得，解得，故所求雙曲線的方程為.

(2)設A、B的坐標分別為、．

由橢圓的方程知，，，∴．

直線l的方程為① 將①代入，化簡整理得

，∴，，

∴.