Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3mx+n（m＞0）的極大值為6，極小值為2，求：
（Ⅰ）實數(shù)m，n的值；            
（Ⅱ）f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=x³-3mx+n（m＞0）的極大值為6，極小值為2，求導(dǎo)f′（x）=0，求得該函數(shù)的極值點x₁，x₂，并判斷是極大值點x₁，還是極小值點x₂，代入f（x₁）=6，f（x₂）=2，解方程組可求得m，n的值．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）知f（x）=x³-3x+4，分別求出端點值，然后再和極值比較，得到最值．

解答： 解：（ I） 由f（x）得f'（x）=3x²-3m，
令f'（x）=0，即3x²-3m=0，得x=±

m

，
∵函數(shù)f（x）=x³-3mx+n（m＞0）的極大值為6，極小值為2，
∴f（

m

）=2，f（-

m

）=6
即

-m m +3m m +n=6 m m -3m m +n=2

，
解得

m=1 n=4.

，
（ II）由（ I）知f（x）=x³-3x+4，
從而f（0）=0³-3×0+4=4，f（3）=3³-3×3+4=22，f（1）=1³-3×1+4=2，
所以f（x）有最小值2，有最大值22．

點評：本題主要考查函數(shù)在某點取得極值的條件，以及求函數(shù)的最值的問題，屬于基礎(chǔ)題．