Question

11．已知邊長分別為a，b，c的三角形ABC面積為S，內(nèi)切圓O的半徑為r，連接OA，OB，OC，則三角形OAB，OBC，OAC的面積分別為$\frac{1}{2}cr，\frac{1}{2}ar，\frac{1}{2}$br，由S=$\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}$br得r=$\frac{2S}{a+b+c}$，類比得四面體的體積為V，四個面的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，則內(nèi)切球的半徑R=$\frac{3V}{{{S_1}+{S_2}+{S_3}+{S_4}}}$．

Answer 1

分析 由三角形的面積公式可知，是利用等積法推導的，即三個小三角形的面積之和等于大三角形ABC的面積，根據(jù)類比推理可知，將四面體分解為四個小錐體，則四個小錐體的條件之和為四面體的體積，由此單調(diào)內(nèi)切球的半徑．

解答 解：由條件可知，三角形的面積公式是利用的等積法來計算的．
∴根據(jù)類比可以得到，將四面體分解為四個小錐體，每個小錐體的高為內(nèi)切球的半徑，
∴根據(jù)體積相等可得$\frac{1}{3}$R（S₁+S₂+S₃+S₄）=V，
即內(nèi)切球的半徑R=$\frac{3V}{{{S_1}+{S_2}+{S_3}+{S_4}}}$，
故答案為$\frac{3V}{{{S_1}+{S_2}+{S_3}+{S_4}}}$．

點評 本題主要考查類比推理的應用，要求正確理解類比的關系，本題的兩個結論實質(zhì)是利用了面積相等和體積相等來推導的．