Question

12．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且b，c是關(guān)于x的一元二次方程x²+mx-a²+b²+c²=0的兩根．
（1）求角A的大小；
（2）已知a=$\sqrt{3}$，設(shè)B=θ，△ABC的面積為y，求y=f（θ）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知化簡可得：b²+c²=a²+bc，利用余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），可求A的值．
（2）由已知及正弦定理可得b=2sinθ，c=2sin（$\frac{2π}{3}$-θ），利用，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可求y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，由0＜θ＜$\frac{2π}{3}$，可得范圍-$\frac{π}{6}$＜2θ-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，利用正弦函數(shù)的圖象可求最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）在△ABC中，由題意可得：bc=-a²+b²+c²，可得：b²+c²=a²+bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．…6分
（2）由a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$及正弦定理可得：$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=2$，
∴b=2sinB=2sinθ，c=2sinC=2sin（$\frac{2π}{3}$-B）=2sin（$\frac{2π}{3}$-θ），
∴y=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$sinθsin（$\frac{2π}{3}$-θ）=$\sqrt{3}$sinθ（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\frac{1}{2}$sinθ）=$\frac{3}{4}$sin2θ-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2θ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
由于0＜θ＜$\frac{2π}{3}$，可得：-$\frac{π}{6}$＜2θ-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴當(dāng)2θ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$時，y_max=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．…12分

點評 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．