Question

6．2016年10月28日，經(jīng)歷了近半個(gè)世紀(jì)風(fēng)雨的南京長(zhǎng)江大橋真“累”了，終于停下來(lái)喘口氣了，之前大橋在改善我們城市的交通狀況方面功不可沒．據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到280輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過(guò)30輛/千米時(shí)，車流速度為50千米/小時(shí)．研究表明，當(dāng)30≤x≤280時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．
（1）當(dāng)0≤x≤280時(shí)，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)） f（x）=x•v（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)v（x）=ax+b．利用x的范圍，列出方程組求解a，b，即可得到函數(shù)的解析式．
（2）求出車流量f（x）=v（x）•x的表達(dá)式，然后求解最大值即可．

解答 解：（1）由題意，得當(dāng)0≤x≤30時(shí)，v（x）=50；
當(dāng)30＜x≤280時(shí)，
設(shè)v（x）=ax+b．
由已知$\left\{\begin{array}{l}{280a+b=0}\\{30a+b=50}\end{array}\right.$，解得a=-0.2，b=56，
故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為v（x）=$\left\{\begin{array}{l}{50，0≤x≤30}\\{-0.2x+56，30＜x≤280}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=x•v（x）=$\left\{\begin{array}{l}{50x，0≤x≤30}\\{（-0.2x+56）x，30＜x≤280}\end{array}\right.$，
當(dāng)0≤x≤30時(shí)，f（x）≤1500．
當(dāng)30＜x≤280時(shí)，f（x）=-0.2（x-140）²+3920，∴x=140，f（x）_max=3920
∴車流密度x為140，f（x）=x•v（x）可以達(dá)到最大為3920．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)以及最值的求法，分段函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．