Question

已知向量

a

=(sinωx，cosωx)，

b

=(

3

cosωx，cosωx)，函數(shù)f（x）=2

a

•

b

+2的最小正周期為π．（ω＞0）
（1）求f（x）的遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，若f（A）=4，b=1，△ABC的面積為

3

2

，求a的值．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)題意和向量的數(shù)量積運算、兩角和的正弦公式，化簡函數(shù)解析式，由函數(shù)的周期求出ω的值，再由正弦函數(shù)的減區(qū)間求出此函數(shù)的減區(qū)間；
（2）由f（A）=4和角A的范圍求出角A的值，由三角形的面積公式求出c的值，代入余弦定理求出a的值．

解答： 解：（1）由題意得，f(x)=2(

3

cosωxsinωx+cosωxcosωx)+2
=

3

sin2ωx+cos2ωx+3=2sin(2ωx+

π

6

)+3…（2分）
因為ω＞0，T=π，所以ω=1，
所以f(x)=2sin(2x+

π

6

)+3…（3分）
由2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)得，

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ(k∈Z)，
所以f（x）的遞減區(qū)間為[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]（k∈Z）       …（5分）
（2）由f（A）=4得，f（A）=2sin(2A+

π

6

)+3=4，
所以sin(2A+

π

6

)=

1

2

                             …（6分）
又A為三角形的內(nèi)角，則

π

6

＜sin(2A+

π

6

)＜

13π

6

，
所以2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

                       …（8分）
因為△ABC的面積為

3

2

，b=1，
所以

1

2

bcsinA=

3

2

，解得c=2  …（10分）
由余弦定理得，a²=c²+b²-2cbcosA=1+4-2×1×2×

1

2

=3，
所以a=

3

  …（12分）

點評：本題考查正弦定理、余弦定理，三角形的面積公式，向量的數(shù)量積，兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性的應(yīng)用，屬于中檔題．