Question

4．已知拋物線C：y²=8x的焦點(diǎn)為F，P，Q是拋物線C的兩點(diǎn)，且$∠PFQ=\frac{π}{3}$，弦PQ的中點(diǎn)E在準(zhǔn)線上的射影為H，則$\frac{{|{EH}|}}{{|{PQ}|}}$的最大值為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由題意可知，P，Q到拋物線：y²=8x的準(zhǔn)線的距離為d₁和d₂，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得丨EH丨=$\frac{1}{2}$（丨PF丨+丨FQ丨），在△FPQ中，根據(jù)余弦定理丨PQ丨²丨PF丨²+丨FQ丨²-丨PF丨•丨FQ丨，$\frac{丨EH{丨}^{2}}{丨{PQ丨}^{2}}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{3丨PF丨丨FQ丨}{4（丨{PF丨}^{2}+丨FQ{丨}^{2}-丨PF丨•丨FQ丨）}$，由基本不等式的性質(zhì)可知$\frac{丨EH{丨}^{2}}{丨{PQ丨}^{2}}$≤1，即可求得$\frac{{|{EH}|}}{{|{PQ}|}}$≤1，求得$\frac{{|{EH}|}}{{|{PQ}|}}$的最大值．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P到拋物線C：y²=8x的準(zhǔn)線的距離為d₁，點(diǎn)Q到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為d₂，
則丨EH丨=$\frac{1}{2}$（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$（丨PF丨+丨FQ丨），
在△FPQ中，根據(jù)余弦定理得：丨PQ丨²=丨PF丨²+丨FQ丨²-2丨PF丨•丨FQ丨cos∠PFQ，
=丨PF丨²+丨FQ丨²-丨PF丨•丨FQ丨，
$\frac{丨EH{丨}^{2}}{丨{PQ丨}^{2}}$=$\frac{（丨PF丨+丨FQ丨）^{2}}{4（丨PF{丨}^{2}+丨{FQ丨}^{2}-丨PF丨丨FQ丨）}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{3丨PF丨丨FQ丨}{4（丨{PF丨}^{2}+丨FQ{丨}^{2}-丨PF丨•丨FQ丨）}$，
由均值不等式，丨PF丨²+丨FQ丨²≥2丨PF丨•丨FQ丨，
則$\frac{丨EH{丨}^{2}}{丨{PQ丨}^{2}}$≤1，那么$\frac{{|{EH}|}}{{|{PQ}|}}$≤1，當(dāng)且僅當(dāng)丨PF丨=丨FQ丨時(shí)等號(hào)成立．
故答案為：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的性質(zhì)以及余弦定理，考查基本不等式的用法，考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．