Question

8．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．
（1）求證：AB⊥BC；
（2）設直線AC與平面A₁BC所成的角為θ，二面角A₁-BC-A的大小為φ，試比較θ和φ的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）過點A在平面A₁ABB₁內作AD⊥A₁B于D，推導出AD⊥面A₁BC，AD⊥BC，AA₁⊥BC，從而BC⊥側面A₁ABB₁，由此能證明AB⊥BC．
（2）連結CD，求出∠ACD是直線AC與平面A₁BC所成的角，∠ABA₁是二面角A₁-BC-A的平面角，從而∠ACD=θ，∠ABA₁=φ，由此能求出θ＜φ．

解答 證明：（1）過點A在平面A₁ABB₁內作AD⊥A₁B于D，
∵面A₁BC⊥面A₁ABB₁，面A₁BC∩面A₁ABB₁=A₁B，
∴AD⊥面A₁BC，
∵BC?平面A₁BC，∴AD⊥BC，
∵AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥BC，
∵AA₁∩AD=A，∴BC⊥側面A₁ABB₁，
∵AB?面A₁ABB₁，∴AB⊥BC．
解：（2）連結CD，由（1）知∠ACD是直線AC與平面A₁BC所成的角，
又∠ABA₁是二面角A₁-BC-A的平面角，
設∠ACD=θ，∠ABA₁=φ，
在Rt△ADC中，sin$θ=\frac{AD}{AC}$，在Rt△ADB中，sinφ=$\frac{AD}{AB}$，
∵AB⊥BC，∴AB＜AC，∴sinθ＜sinφ，
∵$θ，φ∈（0，\frac{π}{2}）$，∴θ＜φ．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面角與二面角大小的比較，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．