Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=

π

2

，AD=

3

，EF=2．
（1）求證：AE∥平面DCF；
（2）設(shè)

AB

BE

=λ(λ＞0)，當(dāng)λ取何值時，二面角A-EF-C的大小為

π

3

？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)在一個平面上有兩條相交直線與另一個平面的兩條相交直線平行，得到兩個平面平行，根據(jù)面面平行再推出線面平行．
（2）建立坐標(biāo)系，設(shè)出BE=m，求出平面AFE法向量，根據(jù)線面垂直，得到平面的法向量，求出兩個平面夾角是已知角度時的結(jié)果．

解答：解：（1）BE∥CF，AB∥CD且BE∩AB=B，F(xiàn)C∩CD=C，∴面ABE∥面CDF
又AE?面ABE，∴AE∥面CDF
（2）∵∠BCF=

π

2

，且面ABCD⊥面BEFC，∴FC⊥面ABCD
以C為坐標(biāo)原點，以CB，CD，CF分別為x，y，z軸建系，設(shè)BE=m，由

AE

BE

=λ得AB=λm，
∴A(

3

，λm，0)，E(

3

，0，m)，F(xiàn)(0，0，m+1)，D(0，λm，0)
平面AFE法向量

n

=(λ，

3

3

λ)，又∵CD⊥面CEF
∴

CD

=(0，λm，0)是平面CEF的一個法向量，
∴cos

π

3

=

| CD • n |

| CD || n |

，即λ=

3

2

點評：本題考查用空間向量求兩個平面間的夾角，本題解題的關(guān)鍵是求出兩個平面的法向量，把解題的重點轉(zhuǎn)移到數(shù)字的運算．