Question

若公比為c的等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1且滿(mǎn)足a_n= (n=3,4,…).

(1)求c的值;

(2)求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n.

Answer 1

分析:(2)c的取值不同S_n的結(jié)果不一樣,故需討論.

解:(1)由題設(shè),當(dāng)n≥3時(shí),a_n=c²a_n-2,a_n-1=ca_n-2,a_n==a_n-2.由題設(shè)條件可得a_n-2≠0,因此c²=,即2c²-c-1=0.解得c=1或c=-.

(2)由(1),需要分兩種情況討論.當(dāng)c=1時(shí),數(shù)列{a_n}是一個(gè)常數(shù)列,即a_n=1(n∈N^*).這時(shí),數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n=1+2+3+…+n=.當(dāng)c=-時(shí),數(shù)列{a_n}是一個(gè)公比為-的等比數(shù)列,即a_n=(-)^n-1(n∈N^*).這時(shí),數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n=1+2(-)+3(-)²+…+n(-)^n-1①,①式兩邊同乘-,得-S_n=-+2(-)²+…+(n-1)(-)^n-1+n(-)ⁿ②,①式減去②式,得(1+)S_n=1+(-)+(-)+(-)²+…+(-)^n-1-n(-)ⁿ=-n(-)ⁿ.

    所以S_n=［4-(-1)ⁿ］(n∈N^*).