Question

【題目】已知函數(shù)，其中常數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，當(dāng)時(shí)，若在內(nèi)恒成立，則稱(chēng)為函數(shù)的“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，請(qǐng)你探究當(dāng)時(shí)，函數(shù)是否存在“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，若存在，請(qǐng)最少求出一個(gè)“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)” 的橫坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) 單調(diào)遞增區(qū)間為和;(2) ; (3) 是一個(gè)類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的橫坐標(biāo).

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），當(dāng)a＞2時(shí)在函數(shù)定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0即可．

（2）數(shù)形結(jié)合：當(dāng)a=4時(shí)，用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)y=f（x）的極大值與極小值，畫(huà)出草圖，借助圖象即可求得m的取值范圍．（3）當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)y=f（x）在其圖象上一點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線方程為y=h（x）=.由此能推導(dǎo)出y=f（x）存在“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”， 是一個(gè)“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)．

（1）由可知，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

且.

因?yàn)?/span>，所以.當(dāng)或時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和.

（2）當(dāng)時(shí)， .所以，當(dāng)變化時(shí)， 的變化情況如下：

		1		2
	+	0	-	0	+
	單調(diào)遞增	取極大值	單調(diào)遞減	取極小值	單調(diào)遞增

所以極大值，

極小值.

函數(shù)的圖象大致如下：

所以若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，

則.

（3）由題意，當(dāng)時(shí)， ，則在點(diǎn)處切線的斜率.

所以 .

令，

則， .

①當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)， .從而有時(shí)， ；

②當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)， .從而有時(shí)， ；

所以在上不存在“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”.

③當(dāng)時(shí)， ，所以在上是增函數(shù)，故.

所以是一個(gè)類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的橫坐標(biāo).