Question

6．已知函數(shù){a_n}滿足a_n+1+1=$\frac{{a}_{n}+1}{2{a}_{n}+3}$，且a₁=1，則數(shù)列{$\frac{2}{{a}_{n}+1}$}的前20項和為780．

Answer 1

分析 利用數(shù)列的遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化求出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是以$\frac{1}{2}$為首項，2為公差的等差數(shù)列，然后求解所求數(shù)列的和即可．

解答 解：由a_n+1+1=$\frac{{a}_{n}+1}{2{a}_{n}+3}$，得$\frac{2{a}_{n}+3}{{a}_{n}+1}=\frac{1}{{a}_{n+1}+1}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}-\frac{1}{{a}_{n}+1}=2$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是以$\frac{1}{2}$為首項，2為公差的等差數(shù)列，則$\frac{1}{{a}_{n}+1}=2n-\frac{3}{2}$，
∴數(shù)列$\{\frac{2}{{a}_{n}+1}\}$是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，
其前20項的和為：20+10×19×4=780．
故答案為：780．

點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．