Question

已知圓和點．
（1）過點M向圓O引切線，求切線的方程；
（2）求以點M為圓心，且被直線截得的弦長為8的圓M的方程；

（3）設(shè)P為（2）中圓M上任意一點，過點P向圓O引切線，切點為Q，試探究：平面內(nèi)是否存在一定點R，使得為定值？若存在，請求出定點R的坐標(biāo)，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）若過點M的直線斜率不存在，直線方程為：，為圓O的切線； …………1分

     當(dāng)切線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為：，即，

  ∴圓心O到切線的距離為：，解得：

∴直線方程為：．                        

綜上，切線的方程為：或                           ……………4分

（2）點到直線的距離為：，

又∵圓被直線截得的弦長為8  ∴          ……………7分

 ∴圓M的方程為：                                 ……………8分

（3）假設(shè)存在定點R，使得為定值，設(shè)，，

∵點P在圓M上  ∴，則      ……………10分

∵PQ為圓O的切線∴∴，

即

整理得：（*）

若使（*）對任意恒成立，則                 ……………13分

∴，代入得：

整理得：，解得：或   ∴或

∴存在定點R，此時為定值或定點R，此時為定值．

………………16分