Question

已知圓和點(diǎn)．
（1）過(guò)點(diǎn)M向圓O引切線(xiàn)，求切線(xiàn)的方程；
（2）求以點(diǎn)M為圓心，且被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為8的圓M的方程；

（3）設(shè)P為（2）中圓M上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓O引切線(xiàn)，切點(diǎn)為Q，試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)R，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)R的坐標(biāo)，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）若過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)斜率不存在，直線(xiàn)方程為：，為圓O的切線(xiàn)； …………1分

     當(dāng)切線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為：，即，

  ∴圓心O到切線(xiàn)的距離為：，解得：

∴直線(xiàn)方程為：．                        

綜上，切線(xiàn)的方程為：或                           ……………4分

（2）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為：，

又∵圓被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為8  ∴          ……………7分

 ∴圓M的方程為：                                 ……………8分

（3）假設(shè)存在定點(diǎn)R，使得為定值，設(shè)，，

∵點(diǎn)P在圓M上  ∴，則      ……………10分

∵PQ為圓O的切線(xiàn)∴∴，

即

整理得：（*）

若使（*）對(duì)任意恒成立，則                 ……………13分

∴，代入得：

整理得：，解得：或   ∴或

∴存在定點(diǎn)R，此時(shí)為定值或定點(diǎn)R，此時(shí)為定值．

………………16分