Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

3

，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切．
（I）求橢圓C₁的方程；
（II）直線l₁過橢圓C₁的左焦點F₁，且與x軸垂直，動直線l₂垂直于直線l₂，垂足為點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（III）設(shè)C₂上的兩個不同點R、S滿足

OR

•

RS

=0，求|

OS

|的取值范圍（O為坐標原點）．

Answer 1

分析：（I）由離心率為

3

3

，可得2a²=3b²，利用直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切，可求b的值，從而可得橢圓方程；
（II）由|MP|=|NF₂|得動點M的軌跡是以直線x=-1為準線，以F₂為焦點的拋物線，從而可得軌跡C₂的方程；
（III）設(shè)出R，S的坐標，利用

OR

•

RS

=0，可得縱坐標之間的關(guān)系，利用基本不等式確定S縱坐標的范圍，進而可求|

OS

|的取值范圍．

解答：解：（I）由離心率為

3

3

，得

a2-b2

a2

=

1

3

，∴2a²=3b²，
∵直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切，
∴

2

2

=b
∴b=

2

∴a=

3

，
∴橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1            …（3分）
（II）由|MP|=|NF₂|得動點M的軌跡是以直線x=-1為準線，以F₂為焦點的拋物線．
∴軌跡C₂的方程是y²=4x                         …（6分）
（III）設(shè)R（

y12

4

，y₁），S（

y22

4

，y₂），則

OR

=（

y12

4

，y₁），

OS

=（

y22

4

，y₂），
∴

RS

=（

y22-y12

4

，y₂-y₁），
∵

OR

•

RS

=0，∴

y22-y12

4

×

y12

4

+y₁（y₂-y₁）=0，
∵y₂≠y₁，∴y₂=-（y₁+

16

y1

），
∵y22=（y₁+

16

y1

）²=y12+

256

y12

+32≥64，當且僅當y12=

256

y12

，即y₁=±4等號成立，…（9分）
∵|

OS

|=

1

4

(y22+8)2-64

，y22≥64，
∴當y22=64，即y₂=±8時，|

OS

|取得最小值8

5

，
∴|

OS

|的取值范圍是[8

5

，+∞）                       …（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查拋物線方程，考查向量知識的運用，考查基本不等式，定型定量是關(guān)鍵．