Question

已知圓（x+4）²+y²=25的圓心為M₁，圓（x-4）²+y²=1的圓心為M₂，動(dòng)圓與這兩個(gè)圓都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為

x2

4

-

y2

12

=1（x≥2）

．

Answer 1

分析：根據(jù)兩圓外切的性質(zhì)，動(dòng)圓圓心到點(diǎn)M₁的距離與它到M₂的距離之差為4（常數(shù)），由此可得動(dòng)圓圓心的軌跡是以M₁、M₂為左、右焦點(diǎn)，2a=4的雙曲線(xiàn)右支，再結(jié)合雙曲線(xiàn)的基本量及其關(guān)系，不難求出相應(yīng)的軌跡方程．

解答：解：圓（x+4）²+y²=25的圓心為M₁（-4，0），半徑為5；
而圓（x-4）²+y²=1的圓心為M₂（4，0），半徑為1．
設(shè)動(dòng)圓M與圓M₁和M₂都相外切，動(dòng)圓半徑為R，則
|MM₁|=R+5，|MM₂|=R+1，可得|MM₁|-|MM₂|=4，
∴點(diǎn)M在以M₁、M₂為左、右焦點(diǎn)，2a=4的雙曲線(xiàn)右支上
a=2且c=4，可得b²=c²-a²=12
∴雙曲線(xiàn)方程為

x2

4

-

y2

12

=1，
因此，動(dòng)圓圓心的軌跡方程為：

x2

4

-

y2

12

=1（x≥2）
故答案為：

x2

4

-

y2

12

=1（x≥2）

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)圓與兩個(gè)定圓都相外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程，著重考查了兩圓的位置關(guān)系和雙曲線(xiàn)的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．