Question

觀察下列各等式（i為虛數(shù)單位）：
（cos1+isin1）（cos2+isin2）=cos3+isin3；
（cos3+isin3）（cos5+isin5）=cos8+isin8；
（cos4+isin4）（cos7+isin7）=cos11+isin11；
（cos6+isin6）（cos6+isin6）=cos12+isin12．
記f（x）=cosx+isinx．
（1）猜想出一個用 f（x），f（y），f（x+y）表示的反映一般規(guī)律的等式，并證明其正確性；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論推出f ⁿ（x）的表達式；
（3）利用上述結(jié)論計算：（cos

π

12

+isin

π

12

）•（cos

5π

12

+isin

5π

12

）+（

3

2

+

1

2

i）²⁰⁰⁷．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：推理和證明

分析：（1）由已知中的式子，發(fā)現(xiàn)若f（x）=cosx+isinx，則f（x）f（y）=f（x+y），進而利用復數(shù)的運算法則和和差角公式，可證得結(jié)論；
（2）由（1）的結(jié)論，根據(jù)乘方是乘數(shù)相等的乘法，可得fⁿ（x）=f（x）•f（x）…f（x）=f（nx）=cosnx+isinnx；
（3）由（2）中結(jié)論，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)，可求出（3）中式子的值．

解答： 解：（1）f（x）f（y）=f（x+y）．…..（2分）
證明：f（x）f（y）=（cos x+isin x）（cos y+isin y）
=（cos xcos y-sin xsin y）+（sin xcos y+cos xsin y）i
=cos（x+y）+isin（x+y）
=f（x+y）．…ks5u…（5分）
（2）∵f（x）f（y）=f（x+y），
∴fⁿ（x）=f（x）•f（x）…f（x）=f（nx）=cosnx+isinnx．…．（8分）
（3）（cos

π

12

+isin

π

12

）•（cos

5π

12

+isin

5π

12

）+（

3

2

+

1

2

i）²⁰⁰⁷
=（cos

π

2

+isin

π

2

）+（cos

2007π

6

+isin

2007π

6

）
=i+（cos

669π

2

+isin

669π

2

）=2i…（12分）

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．