Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]
設(shè)函數(shù)f（x）=|x+ |+|x﹣2m|（m＞0）．
（Ⅰ）求證：f（x）≥8恒成立；
（Ⅱ）求使得不等式f（1）＞10成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）=|x+ |+|x﹣2m|（m＞0），

∴f（x）=|x+ |+|x﹣2m|≥|x+ ﹣（x﹣2m）|=| +2m|= +2m≥2 =8，

當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)，取等號(hào)，故f（x）≥8恒成立．

（Ⅱ）f（1）=|1+ |+|1﹣2m|，當(dāng)m＞ 時(shí)，f（1）=1+ ﹣（1﹣2m），不等式即 +2m＞10，

化簡(jiǎn)為m2﹣5m+4＞0，求得m＜1，或m＞4，故此時(shí)m的范圍為（ ，1）∪（4，+∞）．

當(dāng)0＜m≤ 時(shí)，f（1）=1+ +（1﹣2m）=2+ ﹣2m關(guān)于變量m單調(diào)遞減，

故當(dāng)m= 時(shí)，f（1）取得最小值為17，

故不等式f（1）＞10恒成立．

綜上可得，m的范圍為（0，1）∪（4，+∞）．

【解析】（Ⅰ）利用絕對(duì)值三角不等式、基本不等式證得f（x）≥8恒成立．

（Ⅱ）當(dāng)m＞ 時(shí)，不等式即 +2m＞10，即m2﹣5m+4＞0，求得m的范圍．當(dāng)0＜m≤ 時(shí)，f（1）=1+ +（1﹣2m）=2+ ﹣2m關(guān)于變量m單調(diào)遞減，求得f（1）的最小值為17，可得不等式f（1）＞10恒成立．綜合可得m的范圍．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)，掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．