Question

已知{a_n}是各項為不同的正數(shù)的等差數(shù)列，lga₁、lga₂、lga₄成等差數(shù)列，又bn=

1

a2n

，n=1、2、3…
（1）證明：{b_n}為等比數(shù)列；
（2）如果數(shù)列{b_n}前3項的和為

7

24

，求數(shù)列{a_n}的首項和公差；
（3）在（2）小題的前提下，令S_n為數(shù)列{6a_nb_n}的前n項和，求S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意，可求得a22=a₁•a₄，設(shè)各項為不同的正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}的公差為d，易求a₁=d，于是得b_n=

1

2nd

，利用等比數(shù)列的定義即可判定{b_n}為等比數(shù)列；
（2）依題意，易求b₁=

1

6

，又b₁=

1

2d

，于是d=a₁=3；
（3）由（2）知a_n•b_n=n•(

1

2

)n，令T_n=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n，利用錯位相減法可求得T_n，繼而得S_n=6T_n．

解答： （1）證明：∵lga₁、lga₂、lga₄成等差數(shù)列，
∴2lga₂=lga₁+lga₄成=lg（a₁•a₄），
∴a22=a₁•a₄，
又{a_n}是各項為不同的正數(shù)的等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，
則(a1+d)2=a₁•（a₁+3d），
∴a₁d=d²，又d≠0，
∴a₁=d，
∴a_n=nd，a2n=2ⁿd，

1

a2n

=

1

2nd

，
又b_n=

1

a2n

=

1

2nd

，
∴

bn+1

bn

=

1

2

，
∴{b_n}為公比是

1

2

的等比數(shù)列；
（2）∵b₁+

1

2

b₁+

1

4

b₁=

7

4

b₁=

7

24

，
∴b₁=

1

6

，又b₁=

1

2d

，
解得：d=3，又a₁=d，故a₁=3；
∴a_n=3n；
（3）∵a_n=3n，b_n=b₁q=

1

6

•(

1

2

)n-1=

1

3

•(

1

2

)n，
∴a_n•b_n=n•(

1

2

)n，
∴S_n=6（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）
=6[1×

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n]，
令T_n=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n，
則

1

2

T_n=1×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+（n-1）•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1，
兩式相減：

1

2

T_n=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1
=1-(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1
=1-

n+2

2

×(

1

2

)n，
∴T_n=2-（n+2）•(

1

2

)n，
∴S_n=12-（6n+12）•(

1

2

)n．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列的確定與通項公式的應(yīng)用，突出考查錯位相減法的應(yīng)用，考查綜合運算與求解能力，屬于難題．