Question

已知函數(shù)f（x）=

( 1 2 )x-2  ，x≤0 x2-2x  ，x＞0

，
（1）在給出的平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f（x）的圖象；
（2）根據(jù)圖象，寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若集合A={x∈R|f（x）=a}中恰有三個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分段畫出函數(shù)圖象即可；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象，從左向右呈“上升”趨勢的為單調(diào)遞增，呈“下降”趨勢的即為單調(diào)遞減，從而可得答案；
（3）根據(jù)題意，即求f（x）=a有三個(gè)不同的根，利用數(shù)形結(jié)合法，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

( 1 2 )x-2  ，x≤0 x2-2x  ，x＞0

，
故在直角坐標(biāo)系中作出圖象如右圖所示；
（2）由（1）所作出的圖象可知，
從左向右呈“上升”趨勢的為單調(diào)遞增，呈“下降”趨勢的即為單調(diào)遞減，
故f（x）的單調(diào)區(qū)間為（-∞，0），（0，1），（1，+∞）；
（3）集合A={x∈R|f（x）=a}中恰有三個(gè)元素，即為f（x）=a恰有三個(gè)不同的根，
故函數(shù)y=f（x）的圖象與y=a的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
根據(jù)圖象可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為-1＜a＜0，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a∈（-1，0）．

點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)的圖象，分段函數(shù)的單調(diào)性以及分段函數(shù)的應(yīng)用．對于分段函數(shù)的問題，一般選用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行求解，根據(jù)分段函數(shù)的圖象很容易得到相關(guān)的性質(zhì)，若選用分類討論的方法，則關(guān)鍵是討論需用哪段解析式進(jìn)行求解．同時(shí)也考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于對應(yīng)方程的根，等價(jià)于函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解題時(shí)要注意根據(jù)題意合理的選擇轉(zhuǎn)化．運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．