Question

13．意大利著名數(shù)學(xué)家裴波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144…其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列{f_n}稱為“斐波那契數(shù)列”，“斐波那契數(shù)列”有很多優(yōu)美的性質(zhì)．
（Ⅰ）通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)f₁²+f₂²=f₃，f₂²+f₃²=f₅，f₃²+f₄²=f₇，f₄²+f₅²=f₉，照此規(guī)律，請(qǐng)你寫出第n（n∈N^*）個(gè)等式；
（II）在金融市場(chǎng)中，“盧卡斯數(shù)列”與“斐波那契數(shù)列”無(wú)處不在，金融市場(chǎng)的時(shí)間和價(jià)格均服從斐波那契數(shù)列和魯卡斯數(shù)列，王居恭先生提出并論證了用魯卡斯數(shù)列預(yù)測(cè)股市變盤點(diǎn)的方法，有時(shí)準(zhǔn)確率達(dá)到十分驚人的地步．“盧卡斯數(shù)列”{l_n}與“斐波那契數(shù)列”有密切的關(guān)系，它滿足：l₁=1，l_n=f_n+1+f_n-1（n≥2，n∈N^*），它的前6項(xiàng)是1，3，4，7，11，18．
計(jì)算$\frac{{f}_{2}}{{f}_{1}}$，$\frac{{f}_{4}}{{f}_{2}}$，$\frac{{f}_{6}}{{f}_{3}}$，$\frac{{f}_{8}}{{f}_{4}}$，判斷它們分別是{l_n}中的第幾項(xiàng)，請(qǐng)你依此規(guī)律歸納出一個(gè)正確的結(jié)論，并證明該結(jié)論及（Ⅰ）中你寫出的等式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得第n 個(gè)等式是f_n²+f_n+1²=f_2n+1，（n∈N^*），
（Ⅱ）代值計(jì)算，即可判斷第幾項(xiàng)，由此歸納出一個(gè)結(jié)論是：對(duì)任意  n∈N^*均有$\frac{{f}_{2n}}{{f}_{n}}$=l_n．用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（Ⅰ）第n 個(gè)等式是f_n²+f_n+1²=f_2n+1，（n∈N^*）
（Ⅱ）$\frac{{f}_{2}}{{f}_{1}}$=1，$\frac{{f}_{4}}{{f}_{2}}$=3，$\frac{{f}_{6}}{{f}_{3}}$=4，$\frac{{f}_{8}}{{f}_{4}}$=7，即 $\frac{{f}_{2}}{{f}_{1}}$，$\frac{{f}_{4}}{{f}_{2}}$，$\frac{{f}_{6}}{{f}_{3}}$，$\frac{{f}_{8}}{{f}_{4}}$，分別是{l_n}的第1，2，3，4項(xiàng)
由此歸納出一個(gè)結(jié)論是：對(duì)任意  n∈N^*均有$\frac{{f}_{2n}}{{f}_{n}}$=l_n．
下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意n∈N^* 均有$\frac{{f}_{2n}}{{f}_{n}}$=l_n 和 f_n²+f_n+1²=f_2n+1
證明：（1）當(dāng) n=1時(shí)，$\frac{{f}_{2}}{{f}_{1}}$=1=l₁，f₁²+f₂²=f₃，等式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k，（k∈N^*）時(shí)等式成立，即 $\frac{{f}_{2k}}{{f}_{k}}$=l_k且f_k²+f_k+1²=f_2k+1
則當(dāng)n=k+1時(shí)，f_2k+2=f_2k+1+f_2k=f_k²+f_k+1²+f_kl_k=f_k+1²+f_k（l_k+f_k），
因?yàn)楫?dāng)k=1時(shí)，f₁+l₁=2=2f₂，
當(dāng)k≥2時(shí)，l_k+f_k=f_k+f_k-1+f_k+1=f_k+1+f_k+1=2f_k+1，
所以 f_2k+2=f_k+1²+f_k（l_k+f_k）=f_k+1²+2f_kf_k+1=f_k+1（2f_k+f_k+1）
=f_k+1（f_k+2+f_k+1）=f_k+1l_k+1，
即 $\frac{{f}_{2k+2}}{{f}_{k+1}}$=l_k+1，
所以 f_k+1²+f_k+2²=f_k+1²+（f_k+f_k+1）²=f_k+1²+2f_kf_k+1+f_k+1²+f_k²=
f_2k+2+f_2k+1=f_2k+3，
所以，當(dāng)n=k+1 時(shí)，等式也成立；
綜上，由（1）、（2）知，對(duì)任意n∈N^* 均有$\frac{{f}_{2n}}{{f}_{n}}$=l_n 和 f_n²+f_n+1²=f_2n+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了歸納猜想的問(wèn)題，以及數(shù)學(xué)歸納法，屬于中檔題．