Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）≥4-|x-1|；
（2）若f（x）≤1的解集為[0，2]，$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=a（m＞0，n＞0）求證：m+2n≥4．

Answer 1

分析 對(duì)第（1）問，將a=2代入函數(shù)的解析式中，利用分段討論法解絕對(duì)值不等式即可；
對(duì)第（2）問，先由已知解集{x|0≤x≤2}確定a值，再將“m+2n”改寫為“（m+2n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$）”，展開后利用基本不等式可完成證明．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，不等式f（x）≥4-|x-1|即為|x-2|≥4-|x-1|，
①當(dāng)x≤1時(shí)，原不等式化為2-x≥4+（x-1），得x≤-$\frac{1}{2}$，
故x≤-$\frac{1}{2}$；
②當(dāng)1＜x＜2時(shí)，原不等式化為2-x≥4-（x-1），得2≥5，
故1＜x＜2不是原不等式的解；
③當(dāng)x≥2時(shí)，原不等式化為x-2≥4-（x-1），得x≥$\frac{7}{2}$，
故x≥$\frac{7}{2}$．
綜合①、②、③知，原不等式的解集為（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪[$\frac{7}{2}$，+∞）．
（2）證明：由f（x）≤1得|x-a|≤1，從而-1+a≤x≤1+a，
∵f（x）≤1的解集為{x|0≤x≤2}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+a=0}\\{1+a=2}\end{array}\right.$
∴得a=1，∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=a=1．
又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$）=2+（$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{2n}$）≥2+2$\sqrt{\frac{2n}{m}•\frac{m}{2n}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2n}{m}$=$\frac{m}{2n}$即m=2n時(shí)及m=2，n=1時(shí)，等號(hào)成立，m+2n=4，
故m+2n≥4，得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式和絕對(duì)值不等式的解法，考查分析問題解決問題的能力．