Question

【題目】已知數(shù)列中，.又數(shù)列滿足：.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）若數(shù)列的各項皆為正數(shù)，設(shè)是數(shù)列的前n和，問：是否存在整數(shù)a，使得數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列？若存在，求出整數(shù)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見詳解;(2);(3)存在,此時

【解析】

(1)將已知條件轉(zhuǎn)化,利用定義法證明數(shù)列是等比數(shù)列;

(2)利用數(shù)列的單調(diào)性,即可求出參數(shù)的范圍;

(3)假設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列,利用其性質(zhì)可推出滿足條件的整數(shù)a,進而得以證明.

(1),

,

,

,

即,

又,

由,可知,

所以是以為首項,2為公比的等比數(shù)列;

(2)由(1)知,

所以,

若是單調(diào)遞增數(shù)列,

則對于,恒成立,

又

,

所以對于恒成立,

即對于恒成立,

由于單調(diào)遞增,且,

,

所以,又,則,

所以的取值范圍為;

(3)因為數(shù)列的各項皆為正數(shù),

所以,則,

,

若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列,則,即

所以,即

又,所以,

即,即(),

故存在正整數(shù),使得數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列.