設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在正實數(shù)上的增函數(shù)，且f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求證：f（
xy
）=f（x）-f（y）；
（2）若f（3）=1，f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．
分析：（1）由條件利用賦值法求f（1）=0，然后證明f（
1
y
）=-f（y）．
（2）由f（3）=1，得到f（9）=2，然后利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解．
解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0，
令y=
1
x
＞0，則由f（xy）=f（x）+f（y），得f（x•
1
x
）=f（x）+f（
1
x
）=f（1）=0，
即f（
1
x
）=-f（x），∴f（
1
y
）=-f（y）．
∴f（
x
y
）=f（x）+f（
1
y
）=f（x）-f（y）成立．
（2）若f（3）=1，則f（3×3）=f（3）+f（3）=2f（3），即f（9）=2f（3）=2．
則由f（a）＞f（a-1）+2，得f（a）＞f（a-1）+f（9）=f[9（a-1）]，
∵函數(shù)y=f（x）是定義在正實數(shù)上的增函數(shù)，
∴a＞9（a-1），且9（a-1）＞0，
解得a＜
9
8
且a＞1．即1＜a＜
9
8
．
點評：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f （x）是定義域為R的奇函數(shù)，且滿足f （x-2）=-f （x）對一切x∈R恒成立，當(dāng)-1≤x≤1時，f （x）=x3，則下列四個命題：
①f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
②f（x）在[1，3]上的解析式為f （x）=（2-x）3．
③f（x）在(
3
2
，f(
3
2
))處的切線方程為3x+4y-5=0．
④f（x）的圖象的對稱軸中，有x=±1，其中正確的命題是（　�。�
A、①②③B、②③④
C、①③④D、①②③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件：
①對正數(shù)x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②當(dāng)x＞1時，f（x）＜0；
③f（3）=-1
（I）求f（1）和f(
19
)的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R上以1為周期的函數(shù)，若g（x）=f（x）-2x在區(qū)間[2，3]上的值域為[-2，6]，則函數(shù)g（x）在[-12，12]上的值域為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x-2）=-f（x）對一切x∈R都成立，又當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=x3，則下列五個命題：
①函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
②當(dāng)x∈[1，3]時，f（x）=（ x-2）3；
③直線x=±1是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸；
④點（2，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱中心；
⑤函數(shù)y=f（x）在點（
3
2
，f（
3
2
））處的切線方程為3x-y-5=0．
其中正確的是
①③
①③
．（寫出所有正確命題的序號）

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