Question

若函數(shù)y=log_ax在x∈[3，+∞）上恒有|y|＞1，則a∈

(1，3)∪(

1

3

，1)

．

Answer 1

分析：當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=log_ax在x∈[3，+∞）上是增函數(shù)，故有y≥log_a3，由題意可得log_a3＞1，由此求出a的范圍．
同理，當(dāng)1＞a＞0時(shí)，函數(shù)y=log_ax在x∈[3，+∞）上是減函數(shù)，y≤log_a3＜0，由 log_a

1

3

＞1，求得a的范圍．

解答：解：當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=log_ax在x∈[3，+∞）上是增函數(shù)，故有y≥log_a3，
再由函數(shù)y=log_ax在x∈[3，+∞）上恒有|y|＞1，故log_a3＞1．
解得 1＜a＜3．
當(dāng)1＞a＞0時(shí)，函數(shù)y=log_ax在x∈[3，+∞）上是減函數(shù)，y≤log_a3＜0，
∴|y|≥|log_a3|=log_a

1

3

，再由函數(shù)y=log_ax在x∈[3，+∞）上恒有|y|＞1，
可得 log_a

1

3

＞1，解得

1

3

＜a＜1．
綜上可得，a的范圍是 (1，3)∪(

1

3

，1)，
故答案為 (1，3)∪(

1

3

，1)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．