Question

13．在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}}$，（α為參數(shù)）．以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點M的極坐標為（4，$\frac{π}{2}$），直線l的傾斜角為$\frac{π}{3}$，直線l過點M．
（1），試寫出直線l的極坐標方程，并試求曲線C上的點到直線l距離的最大值；
（2）把曲線C上點的橫坐標擴大到原來的3倍，縱坐標擴大到原來的2倍，得到曲線C₁，若過點E（1，0）與直線l平行的直線l′，交曲線C₁于A，B兩點，試求|EA|•|EB|的值．

Answer 1

分析 （1）M點的直角坐標為（0，4），可得直線l的方程為：$y-4=tan\frac{π}{3}•（x-0）$，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化為極坐標的方程．曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$，利用cos²α+sin²α=1可得曲線C的普通方程．圓心到直線的距離d，可得曲線C到直線的距離的最大值為d+r．
（2）直線l的傾斜角為$\frac{π}{3}$，∴直線l′的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），由${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}}\right.$，利用cos²α+sin²α=1可得曲線C₁的普通方程．聯(lián)立化簡，利用根與系數(shù)的關系即可得出．

解答 解：（1）M點的直角坐標為（0，4），∴直線l的方程為：$y-4=tan\frac{π}{3}•（x-0）$，$\sqrt{3}x-y+4=0$，
化為極坐標的方程為$\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ+4=0$．
曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$，可知曲線C的方程為x²+y²=1，圓心到直線的距離$d=\frac{|4|}{{\sqrt{3+1}}}=2$，
∴曲線C到直線的距離的最大值為2+1=3．
（2）直線l的傾斜角為$\frac{π}{3}$，∴直線l′的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
由${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}}\right.$，可得曲線C₁的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
聯(lián)立可得$\frac{31}{4}{t}^{2}+4t-32$=0，
∴t₁t₂=-$\frac{128}{31}$，
故|EA||EB|=$\frac{128}{31}$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標方程、直線的參數(shù)方程化為普通方程、橢圓的參數(shù)方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．