Question

數(shù)列的各項均為正數(shù)，為其前項和，對于任意的，總有成等差數(shù)列.

(1)求；

(2)求數(shù)列的通項公式；

(3)設(shè)數(shù)列的前項和為，且，求證:對任意正整數(shù)，總有

 

Answer 1

【答案】

（1）1；（2）；（3）求出.

【解析】

試題分析：本題考查計算能力和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.（1）由成等差數(shù)列，列出式子，代入可求；（2）由前n項和公式，可將轉(zhuǎn)化為，即，可求得；（3）用裂項相消法求出前n項和.

試題解析：（1）由已知：對于任意的，總有成等差數(shù)列，

 

令， 即

又因為數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以 

（2）          ①

   ②

由①-②得：

即即

均為正數(shù)

∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列

（3） 

當(dāng)時，

當(dāng)時，

 

所以對任意正整數(shù)，總有.

考點：（1）數(shù)列前n項和與通項公式之間的關(guān)系；（2）等差數(shù)列的通項公式；（3）裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用.