Question

已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點M，N分別是邊AB，CD的中點．
（1）求MN的長；
（2）求異面直線AN與CM所成角的余弦值．

Answer 1

考點：向量在幾何中的應(yīng)用,異面直線及其所成的角,點、線、面間的距離計算

專題：平面向量及應(yīng)用,空間角

分析：（1）由題意，構(gòu)造向量，利用向量的線性運算表示向量，從而可求MN的長；
（2）利用向量的數(shù)量積公式，求出向量

AN

與

MC

的夾角的余弦值，即可求異面直線AN與CM所成角的余弦值．

解答： 解：（1）如圖所示，設(shè)

AB

=

p

，

AC

=

q

，

AD

=

r

．
由題意可知|

p

|=|

q

|=|

r

|=a，且

p

，

q

，

r

三向量兩兩夾角均為60°．
∵

MN

=

AN

-

AM

=

1

2

（

AC

+

AD

）-

1

2

AB

=

1

2

（

q

+

r

-

p

），
∴|

MN

|²=（

MN

）²=

1

4

（

q

+

r

-

p

）²=

1

4

[

q

²+

r

²+

p

²+2（

q

•

r

-

p

•

q

-

r

•

p

）]
=

1

4

[a²+a²+a²+2（

a2

2

-

a2

2

-

a2

2

）]=

a2

2

．
∴|

MN

|=

2

2

a，即MN的長為

2

2

a．
（2）設(shè)向量

AN

與

MC

的夾角為θ．
∵

AN

=

1

2

（

AC

+

AD

）=

1

2

（

q

+

r

），

MC

=

AC

-

AM

=

q

-

1

2

p

，
∴

AN

•

MC

=

1

2

（

q

+

r

）•（

q

-

1

2

p

）=

1

2

（

q

²-

1

2

q

•

p

+

r

•

q

-

1

2

r

•

p

）=

a2

2

．
又∵|

AN

|=|

MC

|=

3

2

a，∴

AN

•

MC

=|

AN

|•|

MC

|•cosθ=

a2

2

，
∴cosθ=

2

3

，∴向量

AN

與

MC

的夾角的余弦值為

2

3

．
從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為

2

3

．

點評：本題考查空間線段的計算，考查空間角，考查向量知識的運用，屬于中檔題．