分析 (1)利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,三角恒等變換,化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式,再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求得f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
(2)(文科做)當(dāng)a=1,根據(jù)x∈[0,$\frac{π}{2}$],利用余弦函數(shù)的定義域和值域,求得函數(shù)f(x)的值域.
(理科做)根據(jù)x∈[0,$\frac{π}{2}$]時(shí),利用余弦函數(shù)的定義域和值域,分類討論,根據(jù)f(x)的最大值為5,求得a的值.
解答 解:(1)f(x)=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2acos2x+$\sqrt{3}$asin 2x-a=a(cos2x+$\sqrt{3}$sin2x)=2acos(2x-$\frac{π}{3}$),a>0,
令2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ,求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$,可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$,kπ+$\frac{π}{6}$],k∈Z.
(2)(文科做)當(dāng)a=1,x∈[0,$\frac{π}{2}$]時(shí),
則2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$],2acos(2x-$\frac{π}{3}$)=2cos(2x-$\frac{π}{3}$)∈[-$\sqrt{3}$,2],
即函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-$\sqrt{3}$,2].
(理科做)當(dāng)x∈[0,$\frac{π}{2}$]時(shí),則2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$],cos(2x-$\frac{π}{3}$)∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1],
當(dāng)a>0時(shí),f(x)=2acos(2x-$\frac{π}{3}$)的最大值為2a=5,∴a=$\frac{5}{2}$.
當(dāng)a<0時(shí),f(x)=2acos(2x-$\frac{π}{3}$)的最大值為-$\sqrt{3}$a=5,∴a=-$\frac{5}{\sqrt{3}}$=-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,三角恒等變換,余弦函數(shù)的單調(diào)性,余弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題.
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