14.已知x∈R,向量$\overrightarrow{OA}$=(acos2x,1),$\overrightarrow{OB}$=(2,$\sqrt{3}$asin 2x-a),f(x)=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$,a≠0.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)(文科做)當(dāng)a=1,x∈[0,$\frac{π}{2}$]時(shí),求函數(shù)f(x)的值域.
(理科做)當(dāng)x∈[0,$\frac{π}{2}$]時(shí),f(x)的最大值為5,求a的值.

分析 (1)利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,三角恒等變換,化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式,再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求得f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
(2)(文科做)當(dāng)a=1,根據(jù)x∈[0,$\frac{π}{2}$],利用余弦函數(shù)的定義域和值域,求得函數(shù)f(x)的值域.
(理科做)根據(jù)x∈[0,$\frac{π}{2}$]時(shí),利用余弦函數(shù)的定義域和值域,分類討論,根據(jù)f(x)的最大值為5,求得a的值.

解答 解:(1)f(x)=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2acos2x+$\sqrt{3}$asin 2x-a=a(cos2x+$\sqrt{3}$sin2x)=2acos(2x-$\frac{π}{3}$),a>0,
令2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ,求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$,可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$,kπ+$\frac{π}{6}$],k∈Z.
(2)(文科做)當(dāng)a=1,x∈[0,$\frac{π}{2}$]時(shí),
則2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$],2acos(2x-$\frac{π}{3}$)=2cos(2x-$\frac{π}{3}$)∈[-$\sqrt{3}$,2],
即函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-$\sqrt{3}$,2].
(理科做)當(dāng)x∈[0,$\frac{π}{2}$]時(shí),則2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$],cos(2x-$\frac{π}{3}$)∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1],
當(dāng)a>0時(shí),f(x)=2acos(2x-$\frac{π}{3}$)的最大值為2a=5,∴a=$\frac{5}{2}$.
當(dāng)a<0時(shí),f(x)=2acos(2x-$\frac{π}{3}$)的最大值為-$\sqrt{3}$a=5,∴a=-$\frac{5}{\sqrt{3}}$=-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,三角恒等變換,余弦函數(shù)的單調(diào)性,余弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

9.解方程組:$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}+x+y=18}\\{{x}^{2}+xy+{y}^{2}=19}\end{array}\right.$.

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5.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線${C_1}:\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$(θ為參數(shù)),點(diǎn)P是曲線C1與x軸正半軸的交點(diǎn).在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系軸,曲線C2:ρcosθ+ρsinθ+3=0.
(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程和過(guò)點(diǎn)P的曲線C1的切線極坐標(biāo)方程;
(2)在曲線C1上求一點(diǎn)Q(a,b),它到曲線C2的距離最長(zhǎng).

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2.如圖,ABC-A1B1C1是底面邊長(zhǎng)為2,高為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的正三棱柱,經(jīng)過(guò)AB的截面與上底面相交于PQ,設(shè)C1P=λC1A1(0<λ<1).
(Ⅰ)證明:PQ∥A1B1
(Ⅱ)當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時(shí),求點(diǎn)C到平面APQB的距離.

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9.將正偶數(shù)排列如表,其中第i行第j個(gè)數(shù)表示aij(i∈N*,j∈N*),例如a32=10,若aij=2012,則i+j=(  )
A.60B.61C.62D.63

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19.一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前233個(gè)圈中的●的個(gè)數(shù)是( 。
A.18B.19C.20D.21

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6.已知直線C1:$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα+1}\\{y=tsinα+2}\end{array}\right.$(t為參數(shù)),圓C2:$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα+1}\\{y=tsinα+2}\end{array}\right.$(α為參數(shù))
(Ⅰ)若直線C1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3),求直線C1的普通方程;若圓C2經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2),求圓C2的普通方程;
(Ⅱ)點(diǎn)P是圓C2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若|OP|的最大值為4,求t的值.

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3.在直角坐標(biāo)系xOy中直線l過(guò)點(diǎn)P($\frac{{\sqrt{10}}}{2}$,0)且傾斜角為α,在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中曲線C的方程為ρ2(1+sin2θ)=1,已知直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)M,N.
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)求$\frac{{|{PM}|•|{PN}|}}{{|{MN}|}}$的取值范圍.

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4.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為2ρ2cos2θ-3ρ2sin2θ=30,圓O的圓心在原點(diǎn),經(jīng)過(guò)曲線C的右焦點(diǎn)F.
(1)求曲線C和圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4+tcosφ\(chéng)\ y=-3+tsinφ\(chéng)end{array}$(t為參數(shù))與圓O交于B,C兩點(diǎn),其中B在第四象限,C在第一象限,若|BC|=5,∠FOC=α,求sin($\frac{π}{3}$-α)的值.

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