Question

在△ABC總，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知

sinC

sinA

=

a2+c2-b2

a2

（1）求角B的大��；
（2）設T=sin²A+sin²C，求T的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知等式左邊利用正弦定理化簡，整理后利用余弦定理求出cosB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）將T關系式利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后用A表示出B，利用兩角和與差的余弦函數公式化為一個角的余弦函數，根據A的范圍求出這個角的范圍，利用余弦函數的圖象與性質即可求出T的范圍．

解答：解：（1）已知等式利用正弦定理化簡得：

c

a

=

a2+c2-b2

a2

，
整理得：

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，即cosB=

1

2

，
∵B為三角形的內角，∴B=60°；
（2）T=sin²A+sin²C=

1

2

（1-cos2A）+

1

2

（1-cos2C）
=1-

1

2

（cos2A+cos2C）=1-

1

2

[cos2A+cos（240°-2A）]=1-

1

2

（

1

2

cos2A-

3

2

sin2A）
=1-

1

2

cos（2A+60°），
∵0＜A＜120°，∴60°＜2A+60°＜300°，
∴-1≤cos（2A+60°）＜

1

2

，
則

3

4

＜T≤

3

2

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的余弦函數公式，以及余弦函數的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．