Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x+mx-3，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=-2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，若不等式（t-x）e^x＜t+2恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大整數(shù)值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件，曲線在（0，f（0））處的切線斜率k=0，即f'（0）=1+a=0，可得a=-1，f'（x）=e^x-1，再通過(guò)解不等式即可求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）利用轉(zhuǎn)化思想，x＞0時(shí)，不等式（m-x）e^x＜m+2等價(jià)于t＜$\frac{{xe}^{x}+2}{{e}^{x}-1}$，然后構(gòu)造新函數(shù)，記g（x），根據(jù)（1）的結(jié)論可得存在x₀∈（1，2），使得g'（x₀）=0，且g（x）_min=g（x₀），再通過(guò)化簡(jiǎn)運(yùn)算可得g（x）_min=x₀+1，由x₀∈（1，2），即可求出t的最大整數(shù)值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞），f'（x）=e^x+m，
由條件，f'（0）=1+m=0，得m=-1，則f'（x）=e^x-1
由f'（x）=e^x-1＞0得x＞0，由f'（x）＜0得x＜0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）．
（Ⅱ）x＞0時(shí)，不等式（t-x）e^x＜t+2等價(jià)于：
t＜$\frac{{xe}^{x}+2}{{e}^{x}-1}$，令g（x）=$\frac{{xe}^{x}+2}{{e}^{x}-1}$，
∴g′（x）=$\frac{{e}^{x}{（e}^{x}-x-3）}{{{（e}^{x}-1）}^{2}}$，
由（1）得u（x）=e^x-x-3在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵u（1）＜0，u（2）＞0，
∴g'（x）在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)x₀，且1＜x₀＜2，
∴當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，g'（x）＜0，當(dāng)x∈（x₀+∞）時(shí)，g'（x）＞0，
∴g（x）_min=g（x₀），由g'（x₀）=0得e^x₀=x₀+3，
∴g（x）_min=g（x₀）=x₀+1，
∵1＜x₀＜2，∴2＜g（x₀）＜3，
∵t＜g（x₀），∴t的最大整數(shù)值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，著重考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，以及函數(shù)最值的求法，利用參數(shù)分離法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．