Question

20．已知函數(shù)$f（x）=|x-a|，g（x）=\frac{2}{x}+1$，若兩函數(shù)的圖象有且只有三個不同的公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-2）
• B． $（1+2\sqrt{2}，+∞）$
• C． $（-∞，-2]∪[1+2\sqrt{2}，+∞）$
• D． $（-∞，-2）∪（1+2\sqrt{2}，+∞）$

Answer 1

分析 首先根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式畫出函數(shù)的圖象，從而根據(jù)圖象判斷函數(shù)與直線的公共點的情況，最后結(jié)合兩曲線相切與方程有唯一解的關(guān)系即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：畫出函數(shù)$g（x）=\frac{2}{x}+1$和y=|x-a|的圖象，
（如圖）
由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)直線y=a-x與函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象相切時，$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}+1}\\{y=|x-a|}\end{array}\right.$有2解，∴此時a＞2，
x＜a，y=a-x代入y=$\frac{2}{x}+1$，可得：
x²+（1-a）x+2=0，
△=（1-a）²-8=0，解得a=1+2$\sqrt{2}$，要有3個交點，可得a＞1+2$\sqrt{2}$，
函數(shù)y=$\frac{2}{x}+1$和y=|x-a|的圖象有三個不同的公共點，則實數(shù)a的取值范圍是a＜-2．
綜上a$∈（-∞，-2）∪（1+2\sqrt{2}，+∞）$．
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)的零點以及數(shù)形結(jié)合方法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，本題由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，使得問題便迎刃而解，且解法簡捷．