Question

【題目】已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn).

（1）若，證明：函數(shù)必有局部對(duì)稱點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)在上有局部對(duì)稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)定義，由得到方程，然后根據(jù)，證明方程有解，從而證明結(jié)論；（2）問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有解，設(shè)，

得到的值域，從而得到的范圍，得到的范圍；（3）將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，令，變?yōu)榉匠?/span>在區(qū)間內(nèi)有解，從而得到關(guān)于的不等式組，解出的范圍.

（1）由得，

代入

，

得到關(guān)于的方程，

其中，由于且，

所以恒成立，

所以函數(shù)必有局部對(duì)稱點(diǎn).

（2）在區(qū)間內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn)

由，得，

所以問題轉(zhuǎn)化為，方程在區(qū)間上有解，

于是

設(shè)，則，

而，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，

所以.

（3），

由于

所以

于是在上有解

令，則

所以方程變?yōu)?/span>在區(qū)間內(nèi)有解，

需滿足條件

即，所以得