Question

5．如果函數(shù)f（x）=（x-1）²+1定義在區(qū)間[t，t+1]上，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)的大小求出函數(shù)的對稱軸，通過討論t的范圍，求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=（x-1）²+1對稱軸方程為x=1，
頂點坐標(biāo)為（1，1），圖象開口向上，
若頂點橫坐標(biāo)在區(qū)間[t，t+1]左側(cè)時，
有1＜t，此時，當(dāng)x=t時，函數(shù)取得最小值$f{（x）_{min}}=f（t）={（t-1）^2}+1$．
若頂點橫坐標(biāo)在區(qū)間[t，t+1]上時，
有t≤1≤t+1，即0≤t≤1．當(dāng)x=1時，函數(shù)取得最小值f（x）_min=f（1）=1．
若頂點橫坐標(biāo)在區(qū)間[t，t+1]右側(cè)時，
有t+1＜1，即t＜0．當(dāng)x=t+1時，函數(shù)取得最小值$f{（x）_{min}}=f（t+1）={t^2}+1$
綜上討論，$f{（x）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}{（t-1）^2}+1，t＞1\\ 1，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0≤t≤1\\{t^2}+1\;\;\;\;\;\;t＜0\end{array}\right.$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的最值問以及分類討論思想，是一道中檔題．