Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（2-a）x-12，x≤7\\{（a+2）^{x-6}}，x＞7\end{array}$是R上的增函數(shù)
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若g（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}$+2x，當x∈[1，4]時，試比較$f（g（x）），f（\frac{10}{3}），f（-\frac{16}{3}）$的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)單調性的定義，建立不等式組，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求導數(shù)，確定函數(shù)的單調性，求出-$\frac{16}{3}$≤g（x）≤$\frac{10}{3}$，即可得出結論．

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{2-a＞0}\\{a+2＞1}\\{（2-a）×7-12≤a+2}\end{array}\right.$，∴0≤a＜2；
（2）∵g（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}$+2x，∴g′（x）=-x²+x+2，
令g′（x）＜0，可得x＜-1或x＞2，函數(shù)單調遞減；g′（x）＞0，可得-1＜x＜2，函數(shù)單調遞增，
∴函數(shù)g（x）在[1，4]上的最大值為g（2）=$\frac{10}{3}$，
∵g（4）-g（1）=-7.5＜0，∴g（4）＜g（1），
∴函數(shù)g（x）在[1，4]上的最小值為g（4）=-$\frac{16}{3}$，
∴-$\frac{16}{3}$≤g（x）≤$\frac{10}{3}$，
∴f（-$\frac{16}{3}$）≤f（g（x））≤f（$\frac{10}{3}$）．

點評 本題考查函數(shù)的單調性，考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．