Question

12．曲線C由$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（y≥0）和$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（y≥0）兩部分組成，若過點(diǎn)A（0，2）作直線l與曲線C有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為$（{-\frac{{\sqrt{5}}}{3}，-\frac{2}{3}}）∪（{\frac{2}{3}，\frac{{\sqrt{5}}}{3}}）$．

Answer 1

分析 由A在y軸上，且在橢圓內(nèi)部，由題意可知，當(dāng)直線過B（-3，0）時(shí)，直線AB與曲線C有三個(gè)交點(diǎn)，直線AB繞A點(diǎn)向y軸正半軸旋轉(zhuǎn)至與雙曲線的漸近線平行時(shí)，易知直線l與曲線C在第一象限均有兩個(gè)交點(diǎn)，由雙曲線的漸近線方程可知：k₁＜$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，即可求得∴$\frac{2}{3}$＜k₁＜$\frac{\sqrt{5}}{3}$，同理當(dāng)-$\frac{\sqrt{5}}{3}$＜k₁＜-$\frac{2}{3}$時(shí)直線與曲線C在第二象限有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求得直線l的斜率的取值范圍．

解答 解：如圖過點(diǎn)A的直線繞A旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)直線l過點(diǎn)B時(shí)直線AB與曲線C有三個(gè)交點(diǎn)，
即k₁＞$\frac{2}{3}$，
將直線AB繞A點(diǎn)向y軸正半軸旋轉(zhuǎn)至與雙曲線的漸近線平行時(shí)，易知直線l與曲線C在第一象限均有兩個(gè)交點(diǎn)，
k₁＜$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴$\frac{2}{3}$＜k₁＜$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
同理當(dāng)-$\frac{\sqrt{5}}{3}$＜k₁＜-$\frac{2}{3}$時(shí)直線與曲線C在第二象限有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴斜率$（{-\frac{{\sqrt{5}}}{3}，-\frac{2}{3}}）∪（{\frac{2}{3}，\frac{{\sqrt{5}}}{3}}）$變化時(shí)均滿足條件．
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故答案為：$（{-\frac{{\sqrt{5}}}{3}，-\frac{2}{3}}）∪（{\frac{2}{3}，\frac{{\sqrt{5}}}{3}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓和雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，斜率公式，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．