【題目】已知函數(shù),在原點處切線的斜率為,數(shù)列滿足為常數(shù)且,.
(1)求的解析式;
(2)計算,并由此猜想出數(shù)列的通項公式;
(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.
【答案】(1);(2) ;(3)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)求出的導(dǎo)函數(shù),由函數(shù)在原點處切線的斜率為可得,可求得的值,從而可得的解析式;(2)由函數(shù)解析式,可得遞推關(guān)系,根據(jù)遞推關(guān)系可依次求出的值,觀察前四項共同規(guī)律可猜測出數(shù)列的通項公式;(3)先驗證 時猜想成立,再假設(shè) 時猜想成立,只需證明 時,猜想也成立即可.
試題解析:(1)由已知得,,.
(2),則,
,,
由此猜想數(shù)列的通項公式應(yīng)為.
(3)①當(dāng)時,猜想顯然成立,
②假設(shè)時,猜想成立,即,
則當(dāng)時,,
即當(dāng)時,猜想成立.由①②知,對一切正整數(shù)都成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭,獲得第i個家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得.
(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程;
(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);
(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測該家庭的月儲蓄.
附:線性回歸方程中,
,其中為樣本平均值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中e為自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)的值域為R,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】環(huán)境污染已經(jīng)觸目驚心,環(huán)境質(zhì)量已經(jīng)成為“十三五”實現(xiàn)全面建成小康社會奮斗目標(biāo)的短板和瓶頸。綿陽某化工廠每一天中污水污染指數(shù)與時刻(時)的函數(shù)關(guān)系為其中為污水治理調(diào)節(jié)參數(shù),且
(1)若,求一天中哪個時刻污水污染指數(shù)最低;
(2)規(guī)定每天中的最大值作為當(dāng)天的污水污染指數(shù),要使該廠每天的污水污染指數(shù)不超過,則調(diào)節(jié)參數(shù)應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(2-x),當(dāng)x∈[0,1]時f(x)=x2,則函數(shù)g(x)=|sin(πx)|-f(x)在區(qū)間[-1,3]上的所有零點的和為( 。
A. 6 B. 7 C. 8 D. 10
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),角的終邊經(jīng)過點.若是的圖象上任意兩點,且當(dāng)時,的最小值為.
(1)求 或的值;
(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)當(dāng)時,不等式恒成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,則稱函數(shù)f(x)有“漂移點”.
(1)用零點存在定理證明:函數(shù)f(x)=x2+2x在[0,1]上有“漂移點”;
(2)若函數(shù)g(x)=lg()在(0,+∞)上有“漂移點”,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=.
(1)若f(2)=a,求a的值;
(2)當(dāng)a=2時,若對任意互不相等的實數(shù)x1,x2∈(m,m+4),都有>0成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)判斷函數(shù)g(x)=f(x)-x-2a(<a<0)在R上的零點的個數(shù),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓M:x2+y2+ay=0(a>0),直線l:x-7y-2=0,且直線l與圓M相交于不同的兩點A,B.
(1)若a=4,求弦AB的長;
(2)設(shè)直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,若k1+k2=,求圓M的方程.
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