【題目】已知函數(shù)f(x)=.
(1)若f(2)=a,求a的值;
(2)當a=2時,若對任意互不相等的實數(shù)x1,x2∈(m,m+4),都有>0成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)判斷函數(shù)g(x)=f(x)-x-2a(<a<0)在R上的零點的個數(shù),并說明理由.
【答案】(1);(2);(3)個零點,理由見解析.
【解析】
(1)分類討論求出f(2),代入 f(2)=a,解方程可得;
(2)a=2時,求出分段函數(shù)的增區(qū)間;“對任意互不相等的實數(shù)x1,x2∈(m,m+4),都有0成立”f(x)在(m,m+4)上是增函數(shù),根據(jù)子集關(guān)系列式可得m的范圍;
(3)按照x≥a和x<a這2種情況分別討論零點個數(shù).
解:(1)因為f(2)=a,
當a≤2時,4-2(a+1)+a=a,解得a=1符合;
當a<2時,-4+2(a+1)-a=a,此式無解;
綜上可得:a=1.
(2)當a=2時,f(x)=,
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,)和(2,+∞),
又由已知可得f(x)在(m,m+4)上單調(diào)遞增,
所以m+4≤,或m≥2,
解得m≤-或m≥2,
∴實數(shù)m的取值范圍是(-∞,-]∪[2,+∞);
(3)由題意得g(x)=
①當x≥a時,對稱軸為x=,
因為-,
所以f(a)=a2-a2-2a-a=-3a>0,
∵-a=>a,
∴f()=-=-<0,
由二次函數(shù)可知,g(x)在區(qū)間(a,)和區(qū)間(,+∞)各有一個零點;
②當x<a時,對稱軸為x=>a,
函數(shù)g(x)在區(qū)間(-∞,a)上單調(diào)遞增且f()=0,
所以函數(shù)在區(qū)間(-∞,a)內(nèi)有一個零點.
綜上函數(shù)g(x)=f(x)-x-2a(-<a<0)在R上有3個零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),在原點處切線的斜率為,數(shù)列滿足為常數(shù)且,.
(1)求的解析式;
(2)計算,并由此猜想出數(shù)列的通項公式;
(3)用數(shù)學歸納法證明你的猜想.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,幾何體EF-ABCD中,四邊形CDEF是正方形,四邊形ABCD為直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,△ACB是腰長為2的等腰直角三角形,平面CDEF⊥平面ABCD.
(1)求證:BC⊥AF;
(2)求幾何體EF-ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法中,正確的是______(填上所有符合條件的序號)
①y=e-x在R上為增函數(shù)
②任取x>0,均有3x>2x
③函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=a可能有兩個交點
④y=2|x|的最小值為1;
⑤與y=3x的圖象關(guān)于直線y=x對稱的函數(shù)為y=log3x.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)an=1++=+…+(n∈N*),是否存在一次函數(shù)g(x),使得a1+a2+a3+…+an-1=g(n)(an-1)對n≥2的一切正整數(shù)都成立?并試用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若無窮數(shù)列{an}滿足:只要ap=aq(p,q∈N*),必有ap+1=aq+1 , 則稱{an}具有性質(zhì)P.
(1)若{an}具有性質(zhì)P,且a1=1,a2=2,a4=3,a5=2,a6+a7+a8=21,求a3;
(2)若無窮數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,無窮數(shù)列{cn}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,b1=c5=1;b5=c1=81,an=bn+cn , 判斷{an}是否具有性質(zhì)P,并說明理由;
(3)設(shè){bn}是無窮數(shù)列,已知an+1=bn+sinan(n∈N*),求證:“對任意a1 , {an}都具有性質(zhì)P”的充要條件為“{bn}是常數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且 + = .
(1)證明:sinAsinB=sinC;
(2)若b2+c2﹣a2= bc,求tanB.
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