Question

14．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程${x^2}-2\sqrt{3}x+2=0$的兩個(gè)根，且2cosC=1．
求：（1）角C的度數(shù)；
（2）AB的長度．

Answer 1

分析 （1）由已知可求cosC=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍C∈（0，π），可得C的值．
（2）由題意及韋達(dá)定理可求a+b=2$\sqrt{3}$，ab=2，進(jìn)而利用余弦定理即可解得AB的值．

解答 解：（1）∵2cosC=1，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
又∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵a，b是方程${x^2}-2\sqrt{3}x+2=0$的兩個(gè)根，
∴a+b=2$\sqrt{3}$，ab=2，
又∵C=$\frac{π}{3}$．
∴AB=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-ab}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-3ab}$=$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題主要考察了余弦定理的應(yīng)用，根與系數(shù)的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．