Question

11．已知函數(shù)f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，g（x）=lnx-2x，h（x）=f（x）-a•g（x）．
（1）求f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＜-2時，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對任意的a∈（-4，-2），總存在x₁，x₂∈[1，2]，使不等式（m+ln2）a-2ln2＜|h（x₁）-h（x₂）|成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的極值．
（2）求出函數(shù)h（x）的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)的符號，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（3）題意轉(zhuǎn)化為（m+ln2）a-2ln2小于|h（x₁）-h（x₂）|的最大值，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值，通過a的范圍求解m的范圍即可．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，可得$f'（x）=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{2x-1}{x^2}（x＞0）$
得f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上是減函數(shù)，在$（\frac{1}{2}，+∞）$上為增，
所以$f{（x）_{極小值}}=f（\frac{1}{2}）=2-2ln2$，無極大值．…（3分）
（2）由已知可得$h（x）=（2-a）lnx+\frac{1}{x}+2ax$，$h'（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=\frac{{2a{x^2}+（2-a）x-1}}{x^2}=\frac{（ax+1）（2x-1）}{x^2}（x＞0）$
當(dāng)a＜-2時，h（x）的減區(qū)間為$（0，-\frac{1}{a}）$和$（\frac{1}{2}，+∞）$，增區(qū)間為$（-\frac{1}{a}，\frac{1}{2}）$．…（7分）
（3）當(dāng)-4＜a＜-2時，由（2）可知h（x）在[1，2]上為減函數(shù)，
所以$|h（{x_1}）-h（{x_2}）{|_{max}}=h（1）-h（2）=\frac{1}{2}-2a+（a-2）ln2$
故$（m+ln2）a-2ln2＜|h（{x_1}）-h（{x_2}）{|_{max}}=\frac{1}{2}-2a+（a-2）ln2$
即$ma＜\frac{1}{2}-2a$對任意的a∈（-4，-2）恒成立
于是$m＞\frac{1}{2a}-2$對任意的a∈（-4，-2）恒成立，
由$-\frac{9}{4}＜\frac{1}{2a}-2＜-\frac{17}{8}$，所以$m≥-\frac{17}{8}$．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值以及單調(diào)區(qū)間的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．