Question

7．若正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x²+y²=9，x²+z²+xz=16，y²+z²+$\sqrt{3}$yz=25，則2xy+$\sqrt{3}$xz+yz=18．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{a}$=（x，y），$\overrightarrow$=（x+$\frac{z}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}z$），$\overrightarrow{c}$=（y+$\frac{\sqrt{3}}{2}z$，$\frac{z}{2}$），則所求為$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$，利用數(shù)量積公式可得所求．

解答 解：由已知設(shè)$\overrightarrow{a}$=（x，y），$\overrightarrow$=（x+$\frac{z}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}z$），$\overrightarrow{c}$=（y+$\frac{\sqrt{3}}{2}z$，$\frac{z}{2}$），
則由x²+y²=9，x²+z²+xz=16，y²+z²+$\sqrt{3}$yz=25，得到$|\overrightarrow{a}|$²=9，$|\overrightarrow{|}^{2}$=16，$|\overrightarrow{c}|$²=25，9+16=25，所以$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}=cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞$
所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=xy+$\frac{\sqrt{3}}{2}yz$+$\frac{yz}{2}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞$=3×5×$\frac{3}{5}$，
所以2xy+$\sqrt{3}$xz+yz=2×9=18；
故答案為：18．

點(diǎn)評 本題考查了利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)用；關(guān)鍵是從三個(gè)等式想到用向量表示，所求為向量的數(shù)量積的2倍．