Question

15．如圖，AB為圓O的切線，A為切點(diǎn)，C為線段AB的中點(diǎn)，過(guò)C作圓O的割線CED（E在C，D之間），求證：∠CBE=∠BDE．

Answer 1

分析 由已知條件由切割線定理得CA²=CE•CD，利用C為線段AB的中點(diǎn)推導(dǎo)出BC²=EC•DC，得到△BCE∽△DCB，利用三角形相似的性質(zhì)得到證明．

解答 證明：∵直線AB，直線CDE分別是⊙O的切線和割線，
∴由切割線定理得CA²=CE•CD，
∵C為線段AB的中點(diǎn)
∴BC²=CA²，
∴BC²=CE•CD，
在△BCE和△DCB中，$\frac{BC}{DC}=\frac{CE}{BC}$
∵∠BCE=∠DCB，
∴△BCE∽△DCB，
∴∠CBE=∠BDE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似和切割線定理的合理運(yùn)用；屬于中檔題．