【題目】依據(jù)某地某條河流8月份的水文觀測點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖（甲）所示；依據(jù)當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造，得到水位與災(zāi)害等級的頻率分布條形圖如圖（乙）所示．

試估計(jì)該河流在8月份水位的中位數(shù)；

（1）以此頻率作為概率，試估計(jì)該河流在8月份發(fā)生1級災(zāi)害的概率；

（2）該河流域某企業(yè)，在8月份，若沒受1、2級災(zāi)害影響，利潤為500萬元；若受1級災(zāi)害影響，則虧損100萬元；若受2級災(zāi)害影響則虧損1000萬元．

現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對方案：

方案

防控等級

費(fèi)用（單位：萬元）

方案一

無措施

0

方案二

防控1級災(zāi)害

40

方案三

防控2級災(zāi)害

100

試問，如僅從利潤考慮，該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案？說明理由．

【答案】（1）（2）應(yīng)選方案二．

【解析】【試題分析】中位數(shù)是左右兩邊小長方形面積為的地方.（1）由于乙圖中頻率分成個(gè)部分，故將水位頻率和對應(yīng)級災(zāi)害的頻率對應(yīng)起來，利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，將發(fā)生級災(zāi)害的概率計(jì)算出來.（2）分別計(jì)算方案、方案和方案對應(yīng)的利潤分布列及數(shù)學(xué)期望，由此判斷出方案較合理.

【試題解析】

（1）依據(jù)甲圖，記該河流8月份“水位小于40米”為事件，“水位在40米至50米之間”為事件，“水位大于50米”為事件，它們發(fā)生的概率分別為：

，

．

記該地8月份“水位小于40米且發(fā)生1級災(zāi)害”為事件，“水位在40米至50米之間且發(fā)生1級災(zāi)害”為事件，“水位大于50米且發(fā)生1級災(zāi)害”為事件，

所以．

記“該河流在8月份發(fā)生1級災(zāi)害”為事件．則

．

估計(jì)該河流在8月份發(fā)生1級災(zāi)害的概率為．

（2）以企業(yè)利潤為隨機(jī)變量，

選擇方案一，則利潤（萬元）的取值為： ，由（1）知

．

的分布列為

X1

500

－100

－1000

P

0.81

0.155

0.035

則該企業(yè)在8月份的利潤期望

（萬元）．

選擇方案二，則（萬元）的取值為： ，由（1）知，

，

的分布列為：

X2

460

－1040

P

0.965

0.035

則該企業(yè)在8月份的平均利潤期望（萬元）

選擇方案三，則該企業(yè)在8月份的利潤為： （萬元）由于，因此企業(yè)應(yīng)選方案二．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形， ，點(diǎn)在線段上，且， 為的中點(diǎn).

（Ⅰ）若，求證：平面平面；

（Ⅱ）若平面平面， 為等邊三角形，且，求三棱錐的體積.

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【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性及最值；

（2）若函數(shù)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓，直線.

(1)以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓和直線的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)為圓和直線交點(diǎn)的中點(diǎn)，且直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，求， 的值.

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【題目】如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，離心率，過左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A，兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P，，過P、作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外．若，求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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【題目】在直三棱柱中，為正三角形，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn).

(1)證明：平面；

(2)若，求直線與平面所成的角的正弦值.

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【題目】已知函數(shù).

（1）求證：函數(shù)有唯一零點(diǎn)；

（2）若對任意，恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直．

（1）求的值；

（2）若對于任意的恒成立，求的取值范圍．

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【題目】二進(jìn)制規(guī)定：每個(gè)二進(jìn)制數(shù)由若干個(gè)0、1組成，且最高位數(shù)字必須為1.若在二進(jìn)制中，是所有位二進(jìn)制數(shù)構(gòu)成的集合，對于，，表示和對應(yīng)位置上數(shù)字不同的位置個(gè)數(shù).例如當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí).

（1）令，求所有滿足，且的的個(gè)數(shù)；

（2）給定，對于集合中的所有，求的和.

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