Question

8．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+3x，-2≤x＜0}\\{ln\frac{1}{x+1}，0≤x≤2}\end{array}\right.$，若g（x）=|f（x）|-ax-a的圖象與x軸有3個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）
• B． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{2e}$]
• C． （0，$\frac{1}{e}$）
• D． （0，$\frac{1}{2e}$）

Answer 1

分析 求出|f（x）|的解析式，作出y=|f（x）|與y=a（x+1）的函數(shù)圖象，根據交點個數(shù)判斷a的范圍．

解答 解：令g（x）=0得|f（x）|=ax+a=a（x+1），
|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-3x，-2≤x＜0}\\{ln（x+1），0≤x≤2}\end{array}\right.$，
作出y=|f（x）|與y=a（x+1）的函數(shù)圖象，則兩函數(shù)圖象有3個交點，

若直線y=a（x+1）經過點（2，ln3），則a=$\frac{ln3}{3}$，
若直線y=a（x+1）與y=ln（x+1）相切，設切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=a（{x}_{0}+1）}\\{{y}_{0}=ln（{x}_{0}+1）}\\{\frac{1}{{x}_{0}+1}=a}\end{array}\right.$，解得x₀=e-1，y₀=1，a=$\frac{1}{e}$．
∴$\frac{ln3}{3}$≤a＜$\frac{1}{e}$，
故選：A．

點評 本題考查來了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關系，導數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．