Question

某隧道長(zhǎng)6000米，最高限速為v（米/秒），一個(gè)勻速行進(jìn)的車(chē)隊(duì)有10輛車(chē)，每輛車(chē)的車(chē)身長(zhǎng)12米，相鄰兩車(chē)之間的距離與車(chē)速v（米/秒）的平方成正比，比例系數(shù)為k（k＞0），自第一輛車(chē)車(chē)頭進(jìn)入隧道至第10輛車(chē)車(chē)尾離開(kāi)隧道時(shí)所用時(shí)間為t（秒）．
（1）求函數(shù)t=f（v）的解析式，并寫(xiě)出定義域；
（2）求車(chē)隊(duì)通過(guò)隧道時(shí)間t的最小值，并求出此時(shí)車(chē)速v的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)相鄰兩車(chē)之間的距離與車(chē)速v（米/秒）的平方成正比建立關(guān)系式，然后求出自第一輛車(chē)車(chē)頭進(jìn)入隧道至第10輛車(chē)車(chē)尾離開(kāi)隧道時(shí)所用時(shí)間t的解析式；
（2）先化簡(jiǎn)解析式，然后討論v與的大小，當(dāng)時(shí)利用基本不等式求出最小值，當(dāng)時(shí)利用函數(shù)在（0，v]上的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，最后求出相應(yīng)的速度．
解答：解：（1）依題意得，車(chē)隊(duì)通過(guò)隧道的時(shí)間t關(guān)于車(chē)隊(duì)行進(jìn)速度v的函數(shù)解析式為：，其中，定義域?yàn)関∈（0，v]；
（2），v∈（0，v]；
令，于是：
①當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，t取得最小值；
②當(dāng)時(shí)，可知在（0，v]上函數(shù)t=f（v）單調(diào)遞減，則當(dāng)v=v時(shí)，車(chē)隊(duì)經(jīng)過(guò)隧道的時(shí)間t的最小值為；
綜上，若，則當(dāng)車(chē)速為（米/秒）時(shí)，車(chē)隊(duì)通過(guò)隧道時(shí)間有最小值（秒）；若，則當(dāng)車(chē)速為v=v（米/秒）時(shí)，車(chē)隊(duì)通過(guò)隧道時(shí)間有最小值（秒）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，同時(shí)考查了利用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．