Question

如圖所示，矩形中，，，，且，交于點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求三棱錐的體積．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、線線平行、線面平行的判定和性質(zhì)以及三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力以及運(yùn)算能力.第一問，由于為矩形，所以是中點(diǎn)，由于⊥平面，利用線面垂直的性質(zhì)，得，而在中，，，所以是中點(diǎn)，所以∥，利用線面平行的判定得∥平面；第二問，因?yàn)?/span>⊥平面，所以⊥平面，利用線面垂直的性質(zhì)，所以垂直面內(nèi)的線，同理，⊥，利用線面垂直的判定，得⊥平面，所以利用第一問的結(jié)論得面，在中求出的長，在中求出的長，從而求出的面積，用等體積轉(zhuǎn)化法求.

試題解析：(1)由題意可得是的中點(diǎn)，連結(jié)，

∵⊥平面，∴.而，∴是的中點(diǎn)， 2分

在中，，∴∥平面. 5分

(2)∵⊥平面，，∴⊥平面，則⊥.

又∵⊥平面，則⊥，又，∴⊥平面. 8分

∵∥.而⊥平面，∴⊥平面.∵是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，

∴∥且＝＝1.∴Rt△中，， 10分

∴.∴ 12分

考點(diǎn)：1.線面平行的判定和性質(zhì)；2.線面垂直的判定和性質(zhì)；3.等體積轉(zhuǎn)化法.