Question

9．已知橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（0＜b＜1），其左、右焦點分別為F₁、F₂，|F₁F₂|=2c．若此橢圓上存在點P，使P到直線x=$\frac{1}{c}$的距離是|PF₁|與|PF₂|的等差中項，則b的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用橢圓上存在點P，使P到直線x=$\frac{1}{c}$的距離是|PF₁|與|PF₂|的等差中項，求出P的橫坐標(biāo)，進而可得c的范圍，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)P（x，y），則
∵橢圓上存在點P，使P到直線x=$\frac{1}{c}$的距離是|PF₁|與|PF₂|的等差中項，
∴|PF₁|+|PF₂|=2|$\frac{1}{c}$-x|=2a，∴x=$\frac{1}{c}$-a，
∴-a≤$\frac{1}{c}$-a≤a，∴$\frac{1}{c}$≤2a=2，
∴c$≥\frac{1}{2}$，
∴1-b²≥$\frac{1}{4}$，
∵0＜b＜1，∴0＜b≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴b的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的定義，等差中項的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．