【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若為的兩個(gè)極值點(diǎn),證明:.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),在為增函數(shù),減函數(shù),為增函數(shù);當(dāng)時(shí),在為增函數(shù).(2)證明見解析.
【解析】
(1)求函數(shù)導(dǎo)數(shù),分類討論函數(shù)的正負(fù),可得函數(shù)的單調(diào)性;
(2)由(1)知,且,不等式作差得,即證對(duì)成立,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)求最值證明即可.
(1)的定義域?yàn)?/span>,,
對(duì)于函數(shù),
①當(dāng)時(shí),即時(shí),在恒成立.
在恒成立,在為增函數(shù);
②當(dāng),即或時(shí),
當(dāng)時(shí),由,得或,,
在為增函數(shù),減函數(shù),
為增函數(shù),
當(dāng)時(shí),由在恒成立,
在為增函數(shù).
綜上,當(dāng)時(shí),在為增函數(shù),減函數(shù),為增函數(shù);
當(dāng)時(shí),在為增函數(shù).
(2)由(1)知,且,
故
故只需證明,
令,故,
原不等式等價(jià)于對(duì)成立,
令,所以單調(diào)遞減,有
得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在上的最小值為,若不等式有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為調(diào)查高三年級(jí)學(xué)生的身高情況,按隨機(jī)抽樣的方法抽取80名學(xué)生,得到男生身高情況的頻率分布直方圖(如圖(1))和女生身高情況的頻率分布直方圖(如圖(2)).已知圖(1)中身高在170~175cm的男生有16名.
(1)試問在抽取的學(xué)生中,男、女生各有多少名?
身高≥170cm | 身高<170cm | 總計(jì) | |
男生 | |||
女生 | |||
總計(jì) |
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷能有多大(百分?jǐn)?shù))的把握認(rèn)為身高與性別有關(guān)?
附:參考公式和臨界值表
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4―4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為.
(1)若a=1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為,求a.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓()的上頂點(diǎn)為,圓經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于,兩點(diǎn),過點(diǎn)作直線的垂線交圓于另一點(diǎn).若△PQN的面積為3,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講
在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)寫出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線過點(diǎn)與曲線交于不同兩點(diǎn),的中點(diǎn)為,與的交點(diǎn)為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】菜農(nóng)定期使用低害殺蟲農(nóng)藥對(duì)蔬菜進(jìn)行噴灑,以防止害蟲的危害,但采集上市時(shí)蔬菜仍存有少量的殘留農(nóng)藥,食用時(shí)需要用清水清洗干凈,下表是用清水x(單位:千克)清洗該蔬菜1千克后,蔬菜上殘留的農(nóng)藥y(單位:微克)的數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
y(微克)
x(千克)
| ||||||
3 | 38 | 11 | 10 | 374 | -121 | -751 |
其中
(I)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與,哪一個(gè)適宜作為蔬菜農(nóng)藥殘量與用水量的回歸方程類型(給出判斷即可,不必說明理由);
(Ⅱ)若用解析式
(Ⅲ)對(duì)于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥,當(dāng)它的殘留量低于20微克時(shí)對(duì)人體無害,為了放心食用該蔬菜,請(qǐng)估計(jì)需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜?(精確到0.1,參考數(shù)據(jù))
附:參考公式:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2+2x﹣4y+3=0.
(1)若直線l:x+y=0與圓C交于A,B兩點(diǎn),求弦AB的長;
(2)從圓C外一點(diǎn)P(x1,y1)向該圓引一條切線,切點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市教育局衛(wèi)生健康所對(duì)全市高三年級(jí)的學(xué)生身高進(jìn)行抽樣調(diào)查,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,他們身高都處于五個(gè)層次,根據(jù)抽樣結(jié)果得到如下統(tǒng)計(jì)圖表,則從圖表中不能得出的信息是( )
A. 樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)
B. 樣本中層次身高人數(shù)最多
C. 樣本中層次身高的男生多于女生
D. 樣本中層次身高的女生有3人
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